Cách chứng minh hình vuông chi tiết nhất | Toán lớp 8

Hình vuông thuộc dạng hình học phổ biến với mọi người. Tuy nhiên, trong chương trình học, có những kiến thức nâng cao về hình vuông bắt buộc bạn phải hiểu. Một trong số đó là cách chứng minh hình vuông. Ngay trong nội dung bên dưới, BachkhoaWiki sẽ chia sẻ đến bạn các cách chứng minh tứ giác là hình vuông dễ nhất.

Các cách chứng minh hình vuông chi tiết nhất

Để chứng minh hình vuông Toán lớp 8, bạn có thể áp dụng các kiến thức về tính chất, dấu hiệu nhận biết hình vuông để tìm lời giải. Hoặc để nhanh hơn thì bạn có thể tham khảo thêm một trong ba cách dưới đây:

Cách 1: Hình thoi có một góc vuông

Trong cách này bạn có thể chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông.

Phương pháp chứng minh: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có một góc vuông thì bạn thực hiện các bước như sau:

  • Chứng minh được tứ giác đó là hình thoi.
  • Chứng minh tứ giác đó có một hình vuông.

Ví dụ minh họa:

Đề bài: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm là E, K, P, Q sao cho kích thước các cạnh AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

cách chứng minh hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông

Hướng dẫn giải:

Vì ABCD là hình vuông nên có cạnh AB = BC = CD = DA.

Theo đề bài lại có: AE = BK = CP = DQ.

Suy ra EB = KC = PD = QA.

Xét tam giác AEQ và tam giác BKE ta có:

  • Cạnh AE = BK
  • Cạnh QA = EB
  • Góc A = góc B = 90 độ.

Suy ra tam giác AEQ = tam giác BKE (c.g.c).

Suy ra cạnh EQ = EK.

Tiếp tục chứng minh tương tự ta lại có cạnh EK = KP, KP = PQ.

Suy ra cạnh EK = KP = PQ = EQ.

Suy ra tứ giác EKPQ là hình thoi (1).

Mặt khác, tam giác AEQ bằng tam giác BKE.

Suy ra góc AQE = góc BKE.

Mà góc AQE + góc EAQ = 90 độ, suy ra, góc BKE + AEQ = 90 độ.

Ta lại có: Góc BKE + góc QEK + góc AEQ = 180 độ.

Suy ra, góc QEK = 180 độ = góc BKE – góc AEQ = 180 – 90 = 90 độ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EKPQ là hình vuông.

Cách 2: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

Cách thứ hai để chứng minh tứ giác là hình vuông là theo dấu hiệu hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.

Phương pháp chứng minh:

Để chứng minh tức giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau thì bạn có thể thực hiện các bước chứng minh sau:

  • Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.
  • Chứng minh tứ giác đó có hai cạnh kề bằng nhau.

Ví dụ minh họa:

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông cân tại điểm A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho cạnh BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại điểm E và F. Vậy tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Cách chứng minh hình vuông chi tiết nhất | Toán lớp 8

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài ta có:

  • Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra góc B = góc C = 45 độ.
  • Tam giác BHE vuông tại H và góc B = 45 độ. Suy ra tam giác BHE vuông cân tại H. Suy ra cạnh HB = HE.
  • Tam giác CGF vuông tại G và có góc C = 45 độ. Suy ra tam giác CGF vuông cân tại G. Suy ra cạnh GC = GF.

Mà giả thiết BH = HG = GC.

Suy ra HE = HG = GF.

Ta lại có cạnh EH song song với GF, cùng vuông góc với BC và EH = GF.

Suy ra, tứ giác HEFG là hình bình hành.

Ngoài ra ta có góc EHG = 90 độ nên tứ giác HEFG là hình chữ nhật, có cạnh EH = HG.

Vậy tứ giác HEFG là hình vuông.

Cách 3: Hình chữ nhật có đường chéo là phân giác

Chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác là cách thứ ba mà bạn cũng cần nên biết.

Phương pháp chứng minh:

Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác, ta có thể thực hiện các bước như sau:

  • Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.
  • Chứng minh tứ giác đó có đường chéo là đường phân giác của một góc.

Ví dụ minh họa:

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Gọi lần lượt M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông.

cách chứng minh hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác AMDN ta có:

  • Góc BAC = góc MAN = 90 độ.
  • Cạnh DM vuông góc với AB (gt), suy ra góc AMD = 90 độ.
  • Cạnh DN vuông góc với AC (gt), suy ra góc AND = 90 độ.

Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

Lại có đường chéo AD cũng là đường phân giác của góc A.

Vậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông.

Bài tập chứng minh tứ giác là hình vuông

Để áp dụng lý thuyết về cách chứng minh tứ giác là hình vuông, bạn có thể vận dụng nội dung trên để làm thêm các dạng bài tập liên quan dưới đây.

Trắc nghiệm

Câu hỏi 1: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

  • A. Hình chữ nhật
  • B. Hình thoi
  • C. Hình bình hành
  • D. Hình vuông

Đáp án: D. Hình vuông.

cách chứng minh tứ giác là hình vuông

Câu hỏi 2: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?

  • A. Hình chữ nhật.
  • B. Hình thoi.
  • C. Hình bình hành.
  • D. Hình vuông.

Đáp án: D. Hình vuông.

Tự luận

Đề bài:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của  BF và CE. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

bài tập chứng minh hình vuông lớp 8 có lời giải

Hướng dẫn giải:

Đặt độ dài AD = a, suy ra AB = 2a.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào ABCD ta có:

AE = EB = BC = CF = FA = a.

Vì tứ giác ADFE có bốn cạnh AD = AE = EF = FD nên nó là hình thoi.

Và hình thoi ADFE có góc A bằng 90 độ nên nói ADFE là hình vuông.

Những vướng mắc trong nội dung về cách chứng minh hình vuông vừa được BachkhoaWiki thông tin một cách chi tiết. Chắc chắn bạn sẽ dễ dàng áp dụng các nội dung lý thuyết này để giải bài tập Toán một cách nhanh chóng hơn. Để cho kiến thức chuyên sâu hơn thì bạn cũng có thể tham khảo thêm các nội dung khác về hình vuông trong những bài viết của BachkhoaWiki.

Để lại ý kiến của bạn:

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *